Значения аргумента z при которыхf (z ) обращается в ноль наз. нулевой точкой , т.е. если f (a ) = 0 , то а - нулевая точка .
Опр.
Точка а
наз. нулём
порядка
n
, если
ФКП можно
представить в виде f
(z
)
=
,
где
аналитическая функция и
0.
В этом случае в разложении функции в ряд Тейлора (43) первые n коэффициентов равны нулю
=
=
Пр.
Определить порядок нуля для
и (1 –cos
z
)
при z
=
0
=
=
ноль 1 порядка
1
– cos
z
=
=
ноль 2 порядка
Опр.
Точка z
=
наз. бесконечно
удаленной точкой
и
нулем
функции
f
(z
),
если f
(
)
= 0. Такая функция разлагается в ряд по
отрицательным степеням z
: f
(z
)
=
.
Если
первые
n
коэффициентов
равны нулю, то приходим к нулю
порядка
n
в бесконечно
удаленной точке: f
(z
)
= z
-
n
.
Изолированные особые точки делятся на: а) устранимые особые точки ; б) полюса порядка n ; в) существенно особые точки .
Точка
а
наз. устранимой
особой точкой
функции
f
(z
)
, если при z
a
lim
f
(z
)
= с -
конечное число .
Точка
а
наз. полюсом
порядка
n
(n
1)
функции f
(z
),
если обратная функция
=
1/
f
(z
)
имеет нуль порядка n
в точке а.
Такую функцию
всегда можно представить в виде f
(z
)
=
,
где
-
аналитическая функция и
.
Точка
а
наз. существенно
особой точкой
функции
f
(z
),
если при z
a
lim
f
(z
)
не существует.
Ряд Лорана
Рассмотрим случай кольцевой области сходимости r < | z 0 – a | < R с центром в точке а для функции f (z ). Введем две новые окружности L 1 (r ) и L 2 (R ) вблизи границ кольца с точкой z 0 между ними. Сделаем разрез кольца, по кромкам разреза соединим окружности, перейдем к односвязной области и в
интегральной формуле Коши (39) получим два интеграла по переменной z
f
(z
0)
=
+
,
(42)
где интегрирование идет в противоположных направлениях.
Для интеграла по L 1 выполняется условие | z 0 – a | > | z – a |, а для интеграла по L 2 обратное условие | z 0 – a | < | z – a |. Поэтому множитель 1/(z – z 0) разложим в ряд (а) в интеграле по L 2 и в ряд (b) в интеграле по L 1 . В результате получаем разложение f (z ) в кольцевой области в ряд Лорана по положительным и отрицательным степеням (z 0 – a )
f
(z
0)
=
A
n
(z
0
– a
) n
(43)
где
A
n
=
=
;A
-n
=
Разложение по положительным степеням (z 0 – а )наз. правильной частью ряда Лорана (ряд Тейлора), а разложение по отрицательным степеням наз. главной частью ряда Лорана.
Если внутри круга L 1 нет особых точек и функция аналитична, то в (44) первый интеграл равен нулю по теореме Коши и в разложении функции останется только правильная часть. Отрицательные степени в разложении (45) появляются лишь при нарушении аналитичности в пределах внутреннего круга и служат для описания функции вблизи изолированных особых точек.
Для построения ряда Лорана (45) для f (z ) можно вычислять коэффициенты разложения по общей формуле или использовать разложения элементарных функций, входящих в f (z ).
Число
слагаемых (n
)
главной части ряда Лорана зависит от
типа особой точки: устранимая
особая точка
(n
=
0)
; существенно
особая точка
(n
);
полюс
n
– ого порядка
(n
-
конечное
число).
а)
Для f
(z
)
=
точка z
= 0 устранимая
особая точка,
т.к.
главной части нет. f
(z
)
=
(z
-
) = 1 -
б)
Для f
(z
)
=
точка z
= 0 -
полюс 1 – ого порядка
f
(z
)
=
(z
-
) =
-
с) Для f (z ) = e 1 / z точка z = 0 - существенно особая точка
f
(z
)
=
e
1 /
z
=
Если
f
(z
)
аналитична в области D
за исключением m
изолированных особых точек
и |z
1 |
< |z
2 |
< . . . < |z
m
|
, то при разложении функции по степеням
z
вся плоскость разбивается на m
+ 1 кольцо | z
i
|
< | z
| < | z
i
+ 1 |
и ряд Лорана имеет разный вид для
каждого кольца. При разложении по
степеням (z
–
z
i
) областью
сходимости ряда Лорана является круг
| z
–
z
i
| < r
,
где r
– расстояние
до ближайшей особой точки.
Пр.
Разложим функцию f
(z
)
=
в ряд Лорана по степенямz
и (z
-
1).
Решение.
Представим функцию в виде f
(z
)
= - z
2
.
Используем формулу для суммы геометрической
прогрессии
.
В круге |z|
< 1 ряд сходится и f
(z
)
= - z
2
(1 + z
+ z
2
+ z
3
+ z
4
+ . . .) = - z
2
- z
3
- z
4
- . . . , т.е. разложение содержит только
правильную
часть. Перейдем во внешнюю область
круга |z|
> 1 . Функцию представим в виде
, где 1/|z
|
< 1, и получим разложение f
(z
)
= z
=z
+ 1 +
Т.к.
,
разложение функции по степеням (z
-
1) имеет вид
f
(z
)
= (z
-
1) -1
+ 2 + (z
-
1) для всех
1.
Пр.
Разложить в ряд Лорана функцию f
(z
)
=
:
а)по степеням
z
в круге |z
|
< 1; b)
по степеням z
кольце 1 <
|z
|
< 3 ; c)
по степеням (z
–
2).Решение.
Разложим функцию на простейшие дроби
=
=
+
=
.
Из условий
z
=1
A
= -1/2 , z
=3
B
= ½.
а)
f
(z
)
=
½ [
]
= ½ [
-(1/3)
],
при |z
|<
1.
b)
f
(z
)
= - ½ [
+
]
= -
(
),
при 1 < |z
|
< 3.
с)
f
(z
)
=
½ [
]= -
½
[
]
=
=
- ½
= -
, при |2 - z
|
< 1
Это круг радиуса 1 с центром в точке z = 2 .
В ряде случаев степенные ряды можно свести к набору геометрических прогрессий и после этого легко определить область их сходимости.
Пр. Исследовать сходимость ряда
.
. . +
+
+
+
1
+ ()
+ ()
2
+ ()
3
+ . . .
Решение.
Это сумма двух геометрических прогрессий
с q
1
=
, q
2
= ()
. Из условий их сходимости следует
< 1 ,
< 1 или |z
|
> 1 , |z
|
< 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо
1 < |z
|
< 2 .
2. Найдем нули функции.
f(x) при х 
.
Ответ f(x) при х .
2) х 2 >-4x-5;
x 2 +4x +5>0;
Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,
D=-4 Нет нулей.
4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.
3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:
.
Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.
4) Пример. Решить систему неравенств:
Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .
Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.
5. Решение рациональных неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=α делит числовую ось на две части - справа от точки α двучлен (х‑α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.
Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n - фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 < α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n , ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем - знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида 
P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.
Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.
2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.
Решение неравенств методом интервалов
3. 
< 20.
Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:
Для функции f(x) = – 20. Находим f(x):
откуда x = 29 и x = 13.
f(30) = – 20 = 0,3 > 0,
f(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.
Ответ: . Основные методы решения рациональных уравнений. 1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений - приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по...
X изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке }