Под резонансом в электрической цепи понимают такое ее состояние, когда ток и напряжение совпадают по фазе и вся цепь ведет себя как чисто активная (рис. 1.18).
Рис. 1.18. Резонансная цепь (а ) и векторная диаграмма при резонансе (б )
(из определения резонанса);
(условие резонанса напряжений);
;
;
Если то , т.е. напряжение на реактивных элементах цепи может быть больше напряжения, подводимого ко всей цепи.
,
,
т.е. цепь из сети реактивную мощность не потребляет и в сеть её не отдает;
;
.
В момент резонанса происходит обмен энергии между L и C . Из сети реактивная мощность не потребляется и в сеть не отдается, следовательно, цепь ведет себя как чисто активная.
35. Резонанс токов возникает в цепях переменного тока состоящих из источника колебаний и параллельного колебательного контура. Резонанс тока это увеличение тока проходящего через элементы контура при этом увеличение потребление тока от источника не происходит.
Рисунок 1 - параллельный колебательный контур
Для возникновения резонанса токов необходимо чтобы реактивные сопротивления емкости и индуктивности контура были равны. А также частота собственных колебаний контура была равна частоте колебаний источника тока.
Во время наступления резонанса токов или так называемого параллельного резонанса напряжение на элементах контура остается неизменным и равным напряжению, которое создает источник. Поскольку он подключен параллельно контуру. Потребление тока от источника будет минимально, так как сопротивление контура при наступлении резонанса резко увеличится.
Рисунок 2 - зависимость полного сопротивления контура и тока от частоты
Сопротивление колебательного контура относительно источника колебаний будет иметь чисто активный характер. То есть не будет, провялятся ни емкостная, ни индуктивная составляющая. И сдвиг фаз между током и напряжением будет отсутствовать.
В тоже время ток через индуктивность будет отставать от напряжения на 90 градусов. А ток в емкости буде опережать напряжение на те же 90 градусов. Таким образом, токи в реактивных элементах контура будут сдвинуты по фазе на 180 градусов друг относительно друга.
В итоге получается, что в параллельном колебательном контуре протекают реактивные токи достаточно большой величины, но при этом он от источника напряжения потребляет малый ток необходимый лишь для компенсации потерь в контуре. Эти потери обусловлены наличием активного сопротивления сосредоточенного по большей части в индуктивности.
Источник затрачивает энергию при включении, заряжая емкость. Далее энергия, накопленная в электрическом поле конденсатора, переходит в энергию магнитного поля индуктивности. Индуктивность возвращает энергию емкости, и процесс повторяется снова. Источник напряжения лишь должен компенсировать потери энергии в активном сопротивлении контура.
1. Метод контурных токов используется обычным способом, однако, к напряжениям самоиндукции на катушках добавляем напряжения взаимной индукции (типа ). Контурные токи желательно выбирать так, чтобы на каждую катушку приходился свой контурный ток.
Резонанс является одним из самых распространенных в природе резонанса можно наблюдать в механических, электрических и даже тепловых системах. Без резонанса у нас не было бы радио, телевидения, музыки и даже качелей на детских площадках, не говоря уже об эффективнейших диагностических системах, применяемых в современной медицине. Одним из самых интересных и полезных видов резонанса в электрической цепи является резонанс напряжений.
Элементы резонансной цепи
Явление резонанса может возникнуть в так называемой RLC-цепи, содержащей следующие компоненты:
- R - резисторы. Эти устройства, относящиеся к так называемым активным элементам электрической цепи, преобразуют электрическую энергию в тепловую. Другими словами, они удаляют энергию из контура и преобразуют ее в тепло.
- L - индуктивность. Индуктивность в электрических цепях - аналог массы или инерции в механических системах. Этот компонент не очень заметен в электрической цепи, пока не попробуешь сделать в ней какие-либо изменения. В механике, например, таким изменением является изменение скорости. В электрической цепи - изменение тока. Если оно по какой-либо причине происходит, индуктивность противодействует такому изменению режима цепи.
- С - обозначение для конденсаторов, которые представляют собой устройства, хранящие электрическую энергию подобно тому, как пружины сохраняют Индуктивность концентрирует и сохраняет магнитную энергию, в то время как конденсатор концентрирует заряд и тем самым хранит электрическую энергию.
Понятие резонансного контура
Ключевыми элементами резонансного контура являются индуктивность (L) и емкость (C). Резистор имеет тенденцию к гашению колебаний, поэтому он удаляет энергию из контура. При рассмотрении процессов, происходящих в колебательном контуре, мы его временно игнорируем, но необходимо помнить, что подобно силе трения в механических системах электрическое сопротивление в цепях невозможно устранить.
Резонанс напряжений и резонанс токов
В зависимости от способа соединения ключевых элементов резонансный контур может быть последовательным и параллельным. При подключении последовательного колебательного контура к источнику напряжения с частотой сигнала, совпадающей с собственной частотой, при определенных условиях в нем возникает резонанс напряжений. Резонанс в электрической цепи с параллельно соединенными реактивными элементами называется резонансом токов.
Собственная частота резонансного контура
Мы можем заставить систему колебаться с собственной частотой. Для этого сначала необходимо зарядить конденсатор, как показано на верхнем рисунке слева. Когда это будет выполнено, ключ переводится в положение, показанное на том же рисунке справа.
В момент времени "0" вся электрическая энергия сохраняется в конденсаторе, и ток в контуре равен нулю (рисунок внизу). Обратите внимание, что верхняя пластина конденсатора заряжена положительно, а нижняя - отрицательно. Мы не можем видеть колебания электронов в цепи, но мы можем измерить ток амперметром, а при помощи осциллоскопа отследить характер зависимости тока от времени. Отметим, что T на нашем графике - это время, необходимое для завершения одного колебания, носящего в электротехнике название "период колебания".
Ток течет по часовой стрелке (рисунок внизу). Энергия передается из конденсатора в На первый взгляд может показаться странным, что индуктивность содержит энергию, однако это похоже на кинетическую энергию, содержащуюся в движущейся массе.
Поток энергии возвращается обратно в конденсатор, но обратите внимание, что полярность конденсатора теперь изменилась. Другими словами, нижняя пластина теперь имеет положительный заряд, а верхняя пластина - отрицательный заряд (рисунок внизу).
Теперь система полностью обратилась, и энергия начинает поступать из конденсатора опять в индуктивность (рисунок внизу). В итоге энергия полностью возвращается к своей отправной точке и готова начать цикл заново.
Частота колебаний может быть аппроксимирована следующим образом:
- F = 1/2π(LC) 0,5 ,
где: F - частота, L - индуктивность, C - емкость.
Рассмотренный на этом примере процесс отражает физическую суть резонанса напряжений.
Исследование резонанса напряжений
В реальных схемах LC всегда присутствует небольшое сопротивление, которое с каждым циклом уменьшает прирост амплитуды тока. После нескольких циклов ток уменьшается до нуля. Этот эффект называется "затухание синусоидального сигнала". Скорость затухания тока до нулевого значения зависит от величины сопротивления в цепи. Тем не менее, сопротивление не изменяет частоту колебаний резонансного контура. Если сопротивление достаточно велико, синусоидальные колебания в контуре не возникнут вообще.
Очевидно, там, где существует собственная частота колебаний, есть возможность возбуждения резонансного процесса. Мы делаем это, включая в последовательную цепь источник питания (АС), как показано на рисунке слева. Термин "переменный" означает, что выходное напряжение источника колеблется с определенной частотой. Если частота источника питания совпадает с собственной частотой контура, возникает резонанс напряжений.
Условия возникновения
Сейчас мы рассмотрим условия возникновения резонанса напряжений. Как показано на последнем рисунке, мы вернули резистор в контур. При отсутствии резистора в контуре ток в резонансной цепи будет нарастать до некоторого максимального значения, определяемого параметрами элементов контура и мощностью источника питания. Увеличение сопротивления резистора в резонансной цепи повышает тенденцию к затуханию тока в контуре, но не влияет на частоту резонансных колебаний. Как правило, режим резонанса напряжений не наступает, если сопротивление цепи резонанса удовлетворяет условию R = 2(L/C) 0,5 .
Использование резонанса напряжений для передачи радиосигнала
Явление резонанса напряжений является не только любопытнейшим физическим феноменом. Оно играет исключительную роль в технологии беспроводных коммуникаций - радио, телевидении, сотовой телефонии. Передатчики, используемые для беспроводной передачи информации, в обязательном порядке содержат схемы, предназначенные для резонирования на определенной для каждого устройства частоте, называемой несущей частотой. При помощи передающей антенны, подключенной к передатчику, он излучает на несущей частоте.
Антенна на другом конце приемо-передающего тракта получает этот сигнал и подает его на приемный контур, предназначенный для резонирования на частоте несущей. Очевидно, что антенна принимает множество сигналов на различных частотах, не говоря уже о фоновом шуме. Благодаря наличию на входе приемного устройства, настроенного на несущую частоту резонансного контура, приемник выбирает единственно правильную частоту, отсеивая все ненужные.
После детектирования амплитудно-модулированного (AM) радиосигнала, выделенный из него низкочастотный сигнал (НЧ) усиливается и подается на звуковоспроизводящее устройство. Это простейшая форма радиопередачи очень чувствительна к шумам и помехам.
Для повышения качества принимаемой информации разработаны и успешно используются другие, более совершенные способы передачи радиосигнала, которые также базируются на использовании настроенных резонансных систем.
Или FM-радио решает многие из проблем радиопередачи с амплитудно-модулированным передающим сигналом, однако это достигается ценой существенного усложнения системы передачи. В FM-радио системные звуки в электронном тракте превращаются в небольшие изменения несущей частоты. Часть оборудования, которое выполняет это преобразование, называется "модулятор" и используется с передатчиком.
Соответственно, к приемнику должен быть добавлен демодулятор для преобразования сигнала обратно в форму, которая может быть воспроизведена через громкоговоритель.
Другие примеры использования резонанса напряжения
Резонанс напряжений как основополагающий принцип заложен также в схемотехнике многочисленных фильтров, широко применяемых в электротехнике для устранения вредных и ненужных сигналов, сглаживания пульсаций и генерирования синусоидальных сигналов.
В электротехнике при анализе режимов работы электрических цепей широко используется понятие двухполюсника. Двухполюсником принято называть часть электрической цепи произвольной конфигурации, рассматриваемую относительно двух выделенных выводов (полюсов). Двухполюсники, не содержащие источников энергии, называются пассивными. Всякий пассивный двухполюсник характеризуется одной величиной – входным сопротивлением, т.е. сопротивлением, измеряемым (или вычисляемым) относительно двух выводов двухполюсника. Входное сопротивление и входная проводимость являются взаимно обратными величинами.
Пусть пассивный двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и один или несколько конденсаторов. Под резонансным режимом работы такого двухполюсника понимают режим (режимы) двухполюсника при котором входное сопротивление является чисто активным. По отношению к внешней цепи двухполюсник ведет себя как активное сопротивление, вследствие чего входные напряжение и ток совпадают по фазе. Различают две разновидности резонансных режимов: резонанс напряжения и резонанс тока.
Резонанс напряжений
В простейшем случае резонанс напряжений может быть получен в электрической цепи переменного тока при последовательном включении катушки индуктивности и конденсаторов. При этом, изменяя емкость конденсаторов при постоянных параметрах катушки, получают резонанс напряжений при неизменных значениях напряжения и индуктивности, частоты и активного сопротивления цепи. При изменении емкости конденсаторов С происходит изменение реактивного емкостного сопротивления. При этом полное сопротивление цепи также изменяется, следовательно, изменяются ток, коэффициент мощности, напряжения на катушке индуктивности, конденсаторах, а также активная, реактивная и полная мощности электрической цепи. Зависимости токаI , коэффициента мощности cosи полного сопротивленияZ цепи переменного тока в функции емкостного сопротивления (резонансные кривые) для рассматриваемой цепи приведены на рис. 9,а . Векторная диаграмма тока и напряжений этой цепи при резонансе представлена на рис. 9,б .
Как видно из этой диаграммы, реактивная составляющая напряжения U L на катушке при резонансе равна напряжениюU С на конденсаторе. При этом напряжение на катушке индуктивностиU к при резонансе вследствие того, что катушка кроме реактивного сопротивленияX L обладает еще и активным сопротивлениемR , несколько больше, чем напряжение на конденсаторе.
Анализ представленных выражений (2), а также рис. 9,а иб показывают, что резонанс напряжений имеет ряд отличительных особенностей.
1. При резонансе напряжений полное сопротивление электрической цепи переменного тока принимает минимальное значение и оказывается равным ее активному сопротивлению, т.е.
2. Из этого следует, что при неизменном напряжении питающей сети (U = const) при резонансе напряжений ток в цепи достигает наибольшего значенияI =U /Z =U /R . Теоретически ток может достигать больших значений, определяемых напряжением сети и активным сопротивлением катушки.
а )б )
3. Коэффициент мощности при резонансе cos=R /Z =R /R = 1, т.е. принимает наибольшее значение, которому соответствует угол= 0. Это означает, что вектор токаи вектор напряжения сетипри этом совпадают по направлению, так как они имеют равные начальные фазы i = u .
4. Активная мощность при резонансе P =RI 2 имеет наибольшее значение, равное полной мощностиS , в то же время реактивная мощность цепиQ =XI 2 = (X L X C)I 2 оказывается равной нулю:Q =Q L Q C = 0.
5. При резонансе напряжений напряжения на емкости и индуктивности оказываются равными U С =U L =X C I =X L I и в зависимости от тока и реактивных сопротивлений могут принимать большие значения, во много раз превышающие напряжение питающей сети. При этом напряжение на активном сопротивлении оказывается равным напряжению питающей сети, т.е.U R =U .
Резонанс напряжений в промышленных электротехнических установках нежелательное и опасное явление, так как оно может привести к аварии вследствие недопустимого перегрева отдельных элементов электрической цепи или пробою изоляции обмоток электрических машин и аппаратов, изоляции кабелей и конденсаторов при возможном перенапряжении на отдельных участках цепи. В то же время резонанс напряжений широко используется в различного рода приборах и устройствах электроники.
Известно, что в механической системе резонанс наступает при равенстве собственной частоты колебаний системы и частоты колебаний возмущающей силы, действующей на систему. Колебания механической системы, например колебания маятника, сопровождаются периодическим переходом кинетической энергии в потенциальную и наоборот. При резонансе механической системы малые возмущающие силы могут вызывать большие колебания системы, например большую амплитуду колебаний маятника.
В цепях переменного тока, где есть индуктивность и емкость, могут возникнуть явления резонанса, которые аналогичны явлению резонанса в механической системе. Однако полная аналогия - равенство собственной частоты колебаний электрического контура частоте возмущающей силы (частоте напряжения сети) - возможна не во всех случаях.
В общем случае под резонансом электрической цепи понимают такое состояние цепи, когда ток и напряжение совпадают по фазе, и, следовательно, эквивалентная схема цепи представляет собой активное сопротивление. Такое состояние цепи имеет место при определенном соотношении ее параметров r, L, С , когда резонансная частота цепи равна частоте приложенного к ней напряжения.
Резонанс вэлектрической цепи сопровождается периодическим переходом энергии электрического поля емкости в энергию магнитного поля индуктивности и наоборот.
При резонансе в электрической цепи малые напряжения, приложенные к цепи, могут вызвать значительные токи и напряжения на отдельных ее участках. В цепи, где r, L, С соединены последовательно, может возникнуть резонанс напряжений, а в цепи, где r, L, С соединены параллельно,- резонанс токов.
Рассмотрим явление резонанса напряжений на примере цепи рис. 2.11, а .
Как отмечалось, при резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. угол φ = 0. и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению.
z = √r 2 + (x L - x С ) 2 = r.
Это равенство, очевидно, будет иметь место, если x L = х С, т. е. реактивное сопротивление цепи равно нулю:
x = x L - x С = 0.
Выразив x L и x С соответственно через L , С и f , получим
| Рис. 2.14. Векторная диаграмма (а ) и графики мгновенных значений и, i, р (б ) цепи рис. 2.11, а при резонансе напряжений |
вытекает, что ток в цепи при резонансе равен напряжению, деленному на активное сопротивление:
I = U/r.
Ток в цепи может оказаться значительно больше тока, который был бы при отсутствии резонанса. При резонансе напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости:
Ix L = Ix С = U L = U C .
При больших значениях x L и х C относительно r эти напряжения могут во много раз превышать напряжение сети. Резонанс в цепи при последовательном соединении потребителей носит название резонанса напряжений.
Напряжение на активном сопротивлении при резонансе равно напряжению, приложенному к цепи:
U r = Ir = U.
На рис. 2.14, а изображена векторная диаграмма цепи рис. 2.11, а при резонансе напряжений Диаграмма подтверждает тот факт, что ток совпадает по фазе с напряжением сети и что напряжение на активном сопротивлении равно напряжению сети. Реактивная мощность при резонансе равна нулю:
Q = Q L - Q C = U L I - U C I = 0.
так как U L = U C .
Полная мощность равна активной мощности;
S = √P 2 + Q 2 = P,
так как реактивная мощность равна нулю. Коэффициент мощности равен единице:
cos φ = P/S = r /z = 1.
Поскольку резонанс напряжений возникает, когда индуктивное сопротивление последовательной цепи равно емкостному, а их значения определяются соответственно индуктивностью, емкостью цепи и частотой сети,
| x L = 2πfL, x С = | . | |
| 2πfС |
Резонанс может быть получен или путем подбора параметров цепи при заданной частоте сети, или путем подбора частоты сети при заданных параметрах цепи.
На рис. 2.14, б
изображены графики мгновенных значений тока i
, напряжения и
сети и напряжений и L , и C , и r
на отдельных участках, а также активной р = iu r
и реактивной p L = iи L ,
p С = iи С
мощностей за период для цепи рис. 2.11. а
при резонансе напряжений. С помощью этих графиков можно проследить энергетическне процессы, происходящие в цепи при резонансе напряжений.
Активная мощность р все время положительна, она поступает из сети к активному сопротивлению и выделяется в нем в виде тепла. Мощности p L и р С знакопеременные, и, как видно из графика, их средние значения равны нулю.
В момент времени t
= 0 (точка I
на рис. 2.14, б
) ток в цепи i
= 0 и энергия магнитного поля
W L =
0. Напряжение на емкости равно амплитудному значению U тС,
конденсатор заряжен и энергия его электрического поля
| W C = | U 2 тc С | . |
В первую четверть периода, в интервале времени между точками 1 и 2, напряжение на емкости и, следовательно, энергия электрического поля убывают. Ток в цепи и энергия магнитного поля возрастают.
В конце первой четверти периода (точка 2 ) и С = 0, W С = 0. i = I m , W L = I 2 m L/ 2.
Таким образом, в первую четверть периода энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля.
Так как площади p С (t ) и p L (t ) , выражающие запас энергии соответственно в электрическом и магнитном полях, одинаковы, вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля индуктивности. Во вторую четверть периода, в интервале между точками 2 и 3 , энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля.
 |
| Рис. 2.15. Графики зависимости I, r, х C , х L , U r , U L , U C от частоты цепи, изображенной на рис 2.11, а |
Аналогичные процессы происходят и в последующие четверти периода.
Таким образом, при резонансе реактивная энергия циркулирует внутри контура от индуктивности к емкости и обратно. Обмена реактивной энергией между источниками и цепью не происходит. Ток в проводниках, соединяющих источник с цепью, обусловлен только активной мощностью.
Для анализа цепей иногда используют частотный метод, позволяющий выяснить зависимость параметров цепи и других величин oт частоты.
На рис 2.15 изображены графики зависимости U r , U C , U L , I, х C , х L , от частоты при неизменном напряжении сети.
При f
= 0 сопротивления x L =
2πfL
= 0,
х C
= 1/
2πfC
= ∞, ток I
= 0, напряжения U r = I r =
0,
U L = Ix L =
0, U C = U.
При f
= f
pез х L = х C , I
= U/r, U L = U C , U r
= U.
При f
→ ∞ x L
→∞, х C
→ 0, U r
→ 0, U C
→ 0, U L
→ U
.
В интервале частот от f = 0 до f = f pез нагрузка имеет активно-емкостный характер, ток опережает по фазе напряжение сети. В интервале частот f = f pез до f → ∞ нагрузка носит активно-индуктивный характер, ток отстает по фазе от напряжения сети.
Наибольшее значение напряжения на емкости получается при частоте, несколько меньшей резонансной, на индуктивности - при частоте, несколько большей резонансной.
Явления резонанса широко используются в радиоэлектронных устройствах и в заводских промышленных установках.
Пример 2.4. Определить частоту сети, при которой в цепи рис. 2.11, а возникает резонанс напряжений. Определить также, во сколько раз напряжение на индуктивности больше напряжения сети при резонансе, если цепь имеет следующие параметры:
r = 20 Ом, L = 0,1 Гн, С = 5 мкф.
Решение. Резонансная частота
Напряжение на индуктивности при резонансе в 7 раз больше напряжения сети.
| Резонанс в электрической цепи. | |
| Резонанс в электрической цепи - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний тока при приближении частоты внешнего напряжения (эдс) и собственной частоты колебательного контура. | |
| Из выражения для полного сопротивления переменному току видим, что сопротивление будет минимальным (сила тока при заданном напряжении – максимальной) при условии или . |  |
Следовательно,  - т.е. частота изменения внешнего напряжения равна собственной частоте колебаний в контуре.
| |
Амплитуды колебаний напряжения на индуктивности и емкости будут равны
и 
- т.е. они равны по величине и противоположны по фазе (напряжение на индуктивности опережает по фазе напряжение на емкости на p).
| |
| Следовательно, . | |
| Полное падение напряжения в контуре равно падению напряжения на активном сопротивлении. Амплитуда установившихся колебаний тока будет определяться уравнением . В этом и состоит смысл явления резонанса. | |
| При этом если величина , то напряжения на емкостной и индуктивной нагрузках могут оказаться много больше внешнего напряжения (эдс генератора)! |  |
| На рисунке представлена зависимость тока в колебательном контуре от частоты при значениях R, гдеR 1 | |
В параллельном контуре при малых активных сопротивлениях R 1 и R 2 токи в параллельных ветвях противоположны по фазе. Тогда, согласно правилу Кирхгофа  .
|  |
В случае резонанса  . Резкое уменьшение амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные емкостное и индуктивное сопротивления при приближении частоты внешнего напряжения к собственной частоте колебательного контура наз. резонансом токов.
| |
| Применение: одно из основных применений резонанса в электрической цепи – настройка радио и телевизионных приемников на частоту передающей станции. Необходимо учитывать резонансные явления, когда в цепи, не рассчитанной на работу в условиях резонанса, возникают чрезмерно большие токи или напряжения (расплавление проводов, пробой изоляции и т.д.). |
44.45.Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла. Применение и наблюдение вихревых полей.
Как мы знаем из закона электромагнитной индукции Фарадея, в замкнутом контуре индуцируется ЭДС при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур
Если контур (проводник) движется, то причиной возникновения ЭДС может быть сила Лоренца. Если же контур неподвижен, то и в этом случае, как показывает опыт, в нём возникает ЭДС, определяемая уравнением (3.93). Какова же в этом случае причина возникновения ЭДС? Под действием ЭДС в контуре возникает электрический ток. Это значит, что на электроны проводника действует электрическое поле. Если контур жёсткий, то можно записать
. (3.94)
(Мы поставили знак частной производной, поскольку магнитная индукция может зависеть и от координаты и от времени.) Из 14.2 следует, что циркуляция этого поля по замкнутому контуру не равна нулю, в отличие от электростатического поля. Максвелл предположил, что изменяющееся во времени магнитное поле порождаетвихревое электрическое поле, независимо от того, имеется у нас проводящий контур или нет. Просто если он есть, то позволяет зарегистрировать вихревое электрическое поле Е В .
Левую часть уравнения (3.94) можно преобразовать по формуле Стокса 
. Тогда, вместо уравнения (3.94), получим
. (3.95)
Поскольку интегрирование может производиться по любой поверхности, опирающейся на контур L , то в каждой точке этой поверхности должны равняться подынтегральные выражения
. (3.96)
Поле Е В существенно отличается от электростатического поля, для которого, как мы помним, циркуляция по замкнутому контуру равна нулю: , а значит, в соответствии с теоремой Стокса, и ротор этого поля в любой точке равен нулю:
В общем случае
но для ротора суммарного поля, в силу уравнения (3.97), остаётся справедливым соотношение (3.96). Таким образом,
. (3.99)
Поскольку переменное магнитное поле порождает электрическое, как это следует из закона индукции Фарадея и полученной нами из этого закона формулы (3.99), то должно существовать и обратное явление – переменное электрическое поле должно порождать магнитное поле. Для установления количественных соотношений рассмотрим процесс заряда конденсатора.
|
Для начала определим поле вблизи поверхности металлической обкладки конденсатора. Применим терему Гаусса для вектора электрического смещения к одной из обкладок (рис. 3.21). Внутри металла поле равно нулю, а снаружи направлено перпендикулярно поверхности. Следовательно, поток через весь цилиндр сведётся к потоку через верхнее основание цилиндра площадью dS. И этот поток должен равняться заряду, заключённому внутри нашего цилиндра, или DdS=sdS , или
D=s . (3.100)
Здесь s – поверхностная плотность зарядов на обкладке конденсатора.
Как мы уже говорили, Максвелл предположил, что изменяющееся электрическое поле создаёт магнитное поле. Но мы знаем, что постоянное магнитное поле создаётся токами. Поэтому естественно предположение, что должен быть ещё один ток, который Максвелл назвал током смещения и который ответственен за создание магнитного поля. Для установления вида этого тока смещения, рассмотрим соотношение (3.100) справа налево, а именно
s =D. (3.101)
Умножим обе части на площадь пластины S и получим
q =sS= DS. (3.102)
Здесь q – заряд пластины конденсатора. Во время заряда конденсатора ток в подводящем проводе
. (3.103)
Разделив обе части последнего уравнения на площадь пластины S, получим слева ток проводимости j=I/S , а справа – плотность нового, максвелловского тока, или плотность тока смещения. Таким образом,
В последнем уравнении мы поставили значки векторов – для общего случая и написали частную производную, поскольку в общем случае вектор электрического смещения может зависеть и от координаты.
Проанализировав полученные результаты, Максвелл ввёл понятие общего тока как суммы токов проводимости и тока смещения. Здесь подчеркнём, что ток смещения – это просто название изменяющегося во времени электрического поля. Единственная функция тока смещения – создавать магнитное поле. Тогда обобщенный закон полного тока будет иметь вид
, (3.105)
или окончательно
. (3.106)
Максвелл создал замкнутую макроскопическую теорию электромагнитного поля. В основе этой теории лежат его знаменитые уравнения. Первая пара связывает основные характеристики электрического и магнитного полей
; (3.107)
В уравнении (3.107) под полем E надо понимать полное поле – поле, созданное неподвижными зарядами, и поле, созданное изменяющимся магнитным полем. Уравнение (3.108) отражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов.
Вторая пара уравнений Максвелла связывает вспомогательные характеристики электрического и магнитного полей
; (3.109)
Уравнение (3.109) является следствием того, что магнитное поле создаётся как токами проводимости, так и токами смещения (изменяющимся во времени электрическим полем). И уравнение (3.110) говорит нам, что источниками электрического поля (помимо изменяющегося магнитного поля) являются электрические заряды. Уравнения Максвелла (3.107)…(3.110) называются уравнениями Максвелла в интегральной форме.
Уравнения Максвелла дополняются так называемыми материальными уравнениями, которые устанавливают связь между вспомогательными и основными характеристиками полей. Для однородной и изотропной неферромагнитной среды эти уравнения имеют вид
Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей, поскольку в природе нет магнитных зарядов.
Уравнения Максвелла позволили предсказать существование электромагнитных волн – распространяющихся в пространстве со скоростью света переменных электрического и магнитного полей. Вскоре электромагнитные волны были обнаружены немецким физиком Г.Герцем. Оказалось, что их свойства полностью описываются уравнениями Максвелла. Это также позволило Максвеллу создать электромагнитную теорию света – как электромагнитных волн с длиной волны .
Если применить к уравнениям (3.107)…(3.110) теоремы Гаусса и Стокса, то получим уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
; (3.112)
; (3.114)
Уравнения (3.98)…(3.101) связывают локальные характеристики поля в каждой точке.
46.Система уравнений Максвелла.
В физике резонансом называется явление, при котором в колебательном контуре частота свободных колебаний совпадает с частотой вынужденных колебаний. В электричестве аналогом колебательного контура служит цепь, состоящая из сопротивления, ёмкости и индуктивности. В зависимости от того как они соединены различают резонанс напряжений и резонанс токов .
Резонанс напряжений возникает в последовательной RLC-цепи .
Условием возникновения резонанса является равенство частоты источника питания резонансной частоте w=w р, а следовательно и индуктивного и емкостного сопротивлений x L =x C . Так как они противоположны по знаку, то в результате реактивное сопротивление будет равно нулю. Напряжения на катушке U L и на конденсаторе U C будет противоположны по фазе и компенсировать друг друга. Полное сопротивление цепи при этом будет равно активному сопротивлению R, что в свою очередь вызывает увеличение тока в цепи, а следовательно и напряжение на элементах.
При резонансе напряжения U C и U L могут быть намного больше, чем напряжение , что опасно для цепи.
С увеличением частоты сопротивление катушки увеличивается, а конденсатора уменьшается. В момент времени, когда частота источника будет равна резонансной, они будут равны, а полное сопротивление цепи Z будет наименьшим. Следовательно, ток в цепи будет максимальным.
Из условия равенства индуктивного и емкостного сопротивлений найдем резонансную частоту
Исходя из записанного уравнения, можно сделать вывод, что резонанса в колебательном контуре можно добиться изменением частоты тока источника (частота вынужденных колебаний) или изменением параметров катушки L и конденсатора C.
Следует знать, что в последовательной RLC-цепи, обмен энергией между катушкой и конденсатором осуществляется через источник питания.
Резонанс токов возникает в цепи с параллельно соединёнными катушкой резистором и конденсатором.
Условием возникновения резонанса токов является равенство частоты источника резонансной частоте w=w р, следовательно проводимости B L =B C . То есть при резонансе токов, ёмкостная и индуктивная проводимости равны.
Для наглядности графика, на время отвлечёмся от проводимости и перейдём к сопротивлению. При увеличении частоты полное сопротивление цепи растёт, а ток уменьшается. В момент, когда частота равна резонансной, сопротивление Z максимально, следовательно, ток в цепи принимает наименьшее значение и равен активной составляющей.
Выразим резонансную частоту
Как видно из выражения, резонансная частота определяется, как и в случае с резонансом напряжений.